С 1871 по 1877 гг. - доцент, с 1877 по 1888 гг. - профессор историко-филологического факультета Новороссийского университетов. В 1888-1897 гг. - профессор Санкт-Петербургского университета.

История византийского, раннехристианского, классического и древнерусского искусства, археология. К. разработал иконографический метод исследования памятников искусства и археологии, анализирующий их типологические особенности, а также культурные, политические и бытовые причины, вызывавшие эти особенности. Им введен в научный обиход и тщательно обследован целый ряд памятников, ранее неизвестных вовсе или неправильно оцененных. В своих сочинениях К. впервые охарактеризовал важные особенности византийского искусства и обосновал его периодизацию, поставил проблему генетического родства искусства Западной Европы, Византии и Востока. Ему удалось определить многие, совершенно особенные, специфические черты византийского художественного мира. К. был истинным эрудитом — никто в России и едва ли ни во всей Европе не работал со столь грандиозным количеством памятников и фактов из истории античности, художественной медиевистики, эпохи Возрождения. Произведения искусства были неотделимы для него от особенностей их исторической жизни, а решение любого вопроса не мыслилось без широкого контекста общих путей истории культуры. Ученый сделал принципиально важные шаги как к определению связей, взаимовлияний культур византийского ареала, так и к уяснению их отличительных черт. Именно К. впервые во всей полноте поставил проблему историко-генетического родства искусства Византии — Востока, Византии — Западной Европы. Сам он так определял смысл своих трудов: «Что касается меня, то я всегда был занят исследованием того, как мир античный, греко-римский преобразовался в мир новый, европейский, и стремился показать, как главная роль в этом процессе принадлежала Византии, восточному центру Европы». К. много сделал ученый для становления собственно научного подхода к памятнику, который видел не в его подробном описании, но в характеристике главных черт. Продолжив осмысление ряда установок своего знаменитого учителя, академика Ф.И.Буслаева, К. развил иконографический метод, который соответствовал традиционному, каноническому характеру средневековой художественной культуры. Принципы описания и анализа формы (в том виде, в каком они сложились до рубежа ХIХ и ХХ вв.) уточняли в трудах К. данные, полученные при изучении иконографии. При исследовании произведений прикладного искусства использовался, кроме того, и принцип типологической систематизации, анализ техники производства. Большое значение имела преподавательская деятельность К., у него было много учеников. В апр. 1917 К. уехал из Петрограда в Одессу, затем жил в Ялте, завершая работу над книгой «Русская икона», в сент. 1918 вернулся в Одессу, где читал лекции в университете по истории русской иконописи и сотрудничал в 1919—1920 в газете «Южное слово». В февр. 1920 эмигрировал в Болгарию, читал лекции в Софийском университете по средневековому искусству и культуре Восточной Европы, изучал древности Болгарии. В апр. 1922 переехал в Прагу, в Пражском университете в 1922–1924 прочитал курс «О роли восточноевропейских славянских и кочевых народностей в истории образования общеевропейской культуры», читал также лекции по истории античного быта и культуры и по проблемам орнамента. К. был избран почетным президентом 2-го Конгресса русских ученых за границей, награжден более чем 50 дипломами научных обществ, университетов и академий разных стран