В 1861-1868 гг. - адъюнкт, доцент Санкт-Петербургского университета. С 1868 г. экстраординарный профессор по кафедре чистой математики. С 1873 г. ординарный профессор по кафедре чистой математики. В 1886-1908 гг. заслуженный профессор по кафедре чистой математики.

Основные труды К. относятся к теории интегрирования уравнений с частными производными и к теории чисел. Его метод интегрирования уравнений дает возможность перейти путем преобразований от данной системы уравнений к другой, в которой число уравнений и число независимых переменных уменьшаются на единицу по сравнению с первоначальной. Это преобразование повторяется до тех пор, пока не останется одно уравнение, из которого и получается общий интеграл системы. В теории чисел занимался главным образом теорией квадратичных форм и теорией сравнений. Совместно с Е. И. Золотаревым решил трудную задачу о точном пределе для минимума положительных квадратичных форм с 4 и 5 переменными (1871-1877 гг.). В теории сравнений предложил метод решения двучленных уравнений, основанный на введении чисел, которые он называл характерами. Занимался также некоторыми вопросами теории рядов и дифференциальной геометрии. В картографии решил задачу об изображении любой поверхности вращения с сохранением площадей при условии взаимной ортогональности меридианов и параллелей.